Problema (Olycom)
Roma, 3 ottobre 2016 - Algebra, informatica, fluidodinamica... tra i tanti quesiti ancora irrisolti della scienza, a inizio millennio sono stati selezionati sette problemi considerati cruciali per la loro importanza teorica e le loro applicazioni pratiche. Il 24 maggio 2000 l'Istituto matematico Clay di Cambridge ha elencato 7 problemi per i quali, a chiunque fornisca una dimostrazione considerata valida dalla comunità scientifica, verrà assegnato un premio di un milione di dollari.
L’iniziativa è nata imitando i famosi Problemi di Hilbert, una lista di 23 problemi che il matematico David Hilbert presentò al Congresso Internazionale dei matematici di Parigi nel lontano 8 agosto 1900. Anche la lista di Hilbert era composta da problemi allora irrisolti, che nell’arco del ventesimo secolo hanno trovato (quasi tutti) una soluzione, definitiva o in via di sviluppo.
I problemi del millennio sono da considerarsi una lista aggiornata, contenente problemi afferenti a diversi campi della scienza e le cui soluzioni comporterebbero importanti conseguenze nelle nuove tecnologie. Proviamo a vedere più nel dettaglio questi problemi, cercando di comprenderne i dettagli, per quanto possibile.
1) La congettura di Poincarè E’ il primo, e finora unico Problema del Millennio ad essere stato risolto, ad opera del russo Grigori Perelman che nel 2002 ha trovato una soluzione, rifiutando tuttavia sia il milione di dollari in palio che la Medaglia Fields (il corrispettivo Premio Nobel per la matematica). La congettura, formulata da Henri Poincarè nel 1904, riguarda la topologia, quella branca della matematica che studia la geometria non da un punto di vista metrico ma della forma. E’ noto che se una superficie chiusa (una palla, una ciambella, un ovale…) non ha buchi, allora è possibile deformarla in modo continuo, cioè senza tagli e senza cuciture, per ricondurla alla forma di una sfera. La congettura riguarda il fatto che questa affermazione si possa fare anche riguardo superfici “a tre dimensioni”, cioè immerse in uno spazio a quattro dimensioni, che purtroppo non è possibile visualizzare, ma solo descriverlo matematicamente. Perelman ha dimostrato che la congettura è vera, entrando nella storia della matematica ma rifiutando gli elogi del mondo accademico, ritirandosi invece alla vita privata nelle periferia di San Pietroburgo.
2) L’ipotesi di Riemann E’ considerata da alcuni il Sacro Graal della matematica, uno dei problemi teorici più importanti tutt’ora irrisolti, oltre che l’unico problema a comparire sia nella lista dei Problemi del Millennio che in quella dei Problemi di Hilbert. Curiosamente l’ipotesi di Riemann riguarda degli oggetti apparentemente tra i più semplici e elementari della matematica: i numeri interi primi. Numeri divisibili solo per 1 e per sé stessi, i numeri primi sono alla base dei metodi con cui cifriamo le e-mail e le comunicazioni. L’ipotesi riguarda la distribuzione che i numeri primi avrebbero all’interno dei numeri interi, quindi la sua dimostrazione definitiva comporterebbe profonde ripercussioni nell’informatica e nella crittografia.
3) Equazioni di Navier-Stokes Sono equazioni che descrivono il comportamento di un fluido (liquido o gas) dal punto di vista macroscopico. Nonostante siano state formulate nel 1821, la loro comprensione non è totale né esiste una soluzione analitica, tranne in casi particolari. La formulazione di una teoria coerente che consenta di studiarle è ancora oggetto di dibattito.
4) Esistenza del Mass Gap di Yang-Mills La teoria quantistica di Yang-Mills è stata introdotta negli anni Cinquanta per descrivere il comportamento di particelle elementari. Come altre teorie fisiche, le sue previsioni sono state verificate corrette in molti esperimenti in laboratorio, tuttavia ciò che manca è una corretta formulazione matematica che ne consenta un totale utilizzo. In particolare, il problema consiste nel descrivere formalmente il concetto di mass gap, una proprietà delle particelle confermata dalle simulazioni al computer ma non ancora compresa fino in fondo.
5) La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer È una congettura su un particolare tipo di funzioni, le curve ellittiche, e sul numero di soluzioni razionali di queste funzioni. Anche questo problema, se risolto, comporterebbe forti implicazioni nella crittografia, per il ruolo che le curve ellittiche svolgono in alcuni algoritmi.
6) La congettura di Hodge Purtroppo, in questo caso, siamo di fronte ad un problema di matematica astratta impossibile da spiegare in termini semplici. Ci basti sapere che la congettura di Hodge riguarda il modo in cui è possibile comporre una figura geometrica "complessa" a partire da combinazioni di figure più "semplici". Per entrare più nello specifico sarebbe necessario almeno un corso di geometria algebrica.
7) P contro NP In informatica esiste una classificazione dei problemi in base alla complessità che essi richiedono nel risolverli. In particolare, un problema si dice di classe P se è possibile risolverlo con un computer in tempo polinomiale (diciamo “basso”) rispetto la complessità del problema. È detto invece NP se la risoluzione richiede un tempo molto maggiore, ma verificare la correttezza di una soluzione proposta richiede un tempo basso (un esempio è risolvere una partita di mastermind). Il quesito che la congettura “P=NP” si pone è capire se in realtà queste classi coincidano. In altre parole, ci si chiede se un problema complesso è complesso in quanto tale o se la complessità sia dovuta al tipo di algoritmo che oggi si utilizza per affrontarlo. L’ipotesi più accreditata è tuttavia che le due classi non coincidano, ma non esistono ancora dimostrazioni. Gran parte della comunità scientifica concorda sul fatto che questo sia l’unico problema tra i sette che sia affrontabile da un non esperto e la cui soluzione potrebbe arrivare da uno studente o un autodidatta.
Perciò, se siete appassionati di informatica e se un milione di dollari potrebbe farvi comodo, forse questa è la vostra occasione.